少有人走的路

余弦定理如下，三角函数中6个必须掌握的公式，这是第3个。

先来推导一下。

如图4-1-1中，ΔABC中，已知∠A=60°，b=10，c=15，求a的长度。

60°角的三边比是 1：2：√3

以此可以求出e,h

(1) e/b=cosA

    ∴ e=b*cosA

 (2) h/b=sinA

     ∴ h=b*sinA

 (3) d=c-e=c-b*cosA

 (4) a²=h²+d²

      a²=(b*sinA)²+(c-b*cosA)²

      a²=b²*sin²A+c²-2cb*cosA+b²*cos²A

         =b²(sin²A+cos²A)+c²-2cb*cosA

     ∴ a²=b²+ c²-2cb*cosA

注意：

在上面的推导中，sin²A+cos²A=1

另外，还用到了初中学的完全平方公式：

(1)完全平方公式:

    (a+b)²=a²+2ab+b²

    (a-b)²=a²-2ab+b²  
 (2)平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²

余弦定理关注的是两边及其夹角的用法。

例子：两两点之间的距离

如图4-2-5，PQ之间有座山隔着，不能进行直接测量，这时候可以通过下面的式子计算：

PQ²=106²+123²-2*106*123*cos53°

≈103.3(m)

已经三边求角

a²=b²+c²-2bc*cosA

∴ cosA=(b²+c²-a²)/2bc

另外请注意：

对任意三角形都能用余弦定理，并不是只对直角三角形。

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作者：hackpig
来源：www.skcircle.com
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