少有人走的路前面有个问题我们还没聊开，不知道小伙伴们记得不？在几何向量的基本概念这一章，我们了解了如下两个概念：
1.矢：空间中的一个直线段，当规定其两个端点中一个为起始点，一个位终止点，这个线段就称为一个矢。
2.向量：具有同样长度和方向的失的集合称为一个向量，单独的一个矢为向量的一个代表。
这里就引出了我们迷惑的问题了，因为数学上（当然程序中也一样）表示向量和坐标点是一样的，比如向量a = (3,2,5)，坐标点P = (3,2,5)，这也就罢了，然而向量a = (3,2,5)可以表示空间中平行且长度相同的任意向量，追求严谨的数学家们当然不希望这样，所以想了个方法来处理这种问题，就是齐次坐标表示法，写法上就是在n维向量（或坐标点）后面增加一维，比如：
a(二维向量或坐标点) = (X,Y)则变成a = (x,y,w)且X = x/w，Y = y/w
b(三维向量或坐标点) = (X,Y,Z)则变成了b = (x,y,z,w)且
这里我们可以看出数学家的习惯，凡是遇到问题，喜欢新增一个未知量进行辅助思考和计算。
那么齐次坐标中引入一个w分量到底表示什么意思呢？我看过一些书籍和帖子， 官方表示w分量的作用如下：
1.齐次坐标的分量w可以区分a(x,y,z,w)表示的到底是向量还是坐标点，w为0时表示的向量，w为其他实数表示的坐标点。
2.齐次坐标的写法非常利于线性变换。
不知道大家能从这两句话中理解出来什么？反正我是一脸懵逼，虽然按照书籍中的规则，我们可以很容易的使用3x3和4x4的矩阵对二维向量和三维向量（齐次表示）进行各种变换（平移，旋转，缩放，错切），但是任然不理解齐次坐标本身的意义，为此我查阅过的一些资料，收集了下面的一些见解。
笛卡尔和费马两人创立了解析几何，我们前面也说过几何学一开始就是为了测量大地的，所以有平面几何以及笛卡尔平面坐标系，测量大地后当然也就要去测量天空和大海了，就有了空间几何和笛卡尔空间坐标系①，坐标系的具体样子如下图：
在这种坐标系中，向量和点的数学描叙会让人迷惑，比如向量AB = (3,5,4)，向量CD = (3,5,4)，坐标点P = (3,5,4)，如果在现实世界中，我们肯定不会认为一个质点P和一条线段AB是一个东西，而且也不能认为桌子上一条线段AB和天花板上一条平行且长度相同的线段CD是一个东西。
既然谈到现实世界了，我们好好想一下我们感受到的现实世界是怎么样子的？我们通过双眼观察这个世界，太阳光线照射到物体上，反射进入我们眼睛，光线被晶状体折射后打到视网膜上，呈现了物体倒立的等比缩放图像，经过大脑主动修正，我们就看到正立的物体的图像。我们用眼睛观察世界有一个特点，就是越远的物体看起来就越小，而且我们还能通过“越远越小”这种视觉效果估算距离。假如我们站在现实世界中的一条很远的马路上，马路尽头在我们眼中就交汇成了一个点，如下图：
这种现象被称为透视现象，同样的存在这种现象的空间被称为透视空间②。
透视现象在现实生活中无处不在，计算机视觉中也遵循这个原理。
在笛卡尔空间中，两条平行线是永远不会相交的，但是在透视空间中，两条平行线会相交于一点，这是两种空间最大的区别。
想像一下一条长直的铁杆长度等于上图街道的宽度，同时平行于地面，并且处于越来越远的运行状态，假设刚开始铁杆的向量AB为(x=10,y=1,z=1,w=1)，那么随着铁杆越来越远，x,y,z,w的数值越来越小并且x/w,y/w,z/w的数值保持不变，这样的话（x,y,z,w）既能表示同样的向量长度方向，又能区分向量的位置，所以w分量的引入确实起到了实际作用。
如上图，假如铁杆移动到无限远处，那么铁杆向量AB在笛卡尔空间下表示为(∞,∞,∞) ，那么在透视空间的齐次坐标表示下AB = (10/w = ∞,1/w = ∞,1/w = ∞,w=0)，这么一来就说明w = 0就表示了透视空间中一个向量平移成一个点。
同时我看过一篇文章，谈到计算机图形学中的图形变换，实际上是在仿射空间③中进行的，而并在一般的向量空间中。
仿射空间是向量空间的一个子集，或者说仿射空间是向量空间的一种，但是区别于向量空间的特殊之处就是仿射空间没有选定原点，一般的向量空间我们都会人为的定义一个“绝对中心”也就是原点，仿射空间则不局限于这个“绝对中心”。
仿射空间的坐标原点是不确定的，一个仿射空间A变换成另一个仿射空间B就是A经过线性变换(旋转)然后平移，变成B。那么我们可以认为向量空间中图形的变换，就是从图形的中心心所在的同样中心仿射空间A经过仿射变换变成另一个仿射空间B，这个应该很好理解，因为我们观察unity引擎中表示物体Obj的transform是不是有个worldposition属性，我们可以理解为worldposition属性就代表着当前物体Obj所处的仿射空间A的原点就是worldposition，物体Obj通过变换后transform上的worldposition属性就变成了新的仿射空间B的原点。
这个过程中仿射空间A可能经过了旋转缩放最后再平移变成了仿射空间B，其中的图形也跟着变换，可以理解仿射变换的函数表示：
γ = T*α+β，其中α为原始图形，T为线性变换矩阵，β为平移向量
因为β平移无法满足线性f(a+b) = f(a) + f(b)同时f(ka) = k*f(a)的可加性和比例性，所以这个变换暂时不能称为线性变换，但是缩放k倍和旋转θ角这两种变换却是可以的，所以我们需要扩充维度进行β平移的计算，以便达到完美统一的线性变换的目的，如下图：
因为仿射空间的存在，我们认为图形变换就是变换了以图形为原点的仿射坐标，那么我们使用齐次坐标表示法，同时变换矩阵也扩充一个维度称它为”平移维度“，这时候我们可以利用数学技巧“忽略掉”除了“平移维度”之外的维度，只进行“平移维度”的计算， 根据矩阵乘法的计算规则，那么tx，ty就很自然的处理了两个仿射空间的平移，如下图，忽略黑框中的线性变换方块：
这大概就是图形学书上面对齐次坐标的作用的解释。
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