几何向量(8):Angle/SignedAngle函数解析

最近又跑去温习基础数序去了,没办法,人对某个事物的永久记忆是七次理解才能达成,所以抽空写一些常用的数学计算。


      在二维和三维开发中,计算向量之间夹角属于很常见的操作,在数学中我们可以使用下面:


       1.余弦定理,如果我们知道三边的情况下,使用余弦定理可以计算出任意角的角度,如图:      

image.png

  2.点乘(点积),我们可以通过点乘(点积)推导出:


               a·b = |a|*|b|*cosθ


               cosθ = (a·b)/(|a|*|b|)


        可以回过头去看下上面的公式定理和推导,加深记忆,接下来我们就在unity中实现一下,代码如下:


using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
 
public class AngleTest : MonoBehaviour
{
 
    void Start()
    {
        CalculateVector2Angle();
        CalculateVector3Angle();
    }
 
    private void CalculateVector2Angle()
    {
        Vector2 a = new Vector2(1, 3);
        Vector2 b = new Vector2(2, 8);
 
        Vector2 c = b - a;
 
        float apiangle = Vector2.Angle(a, b);
        float cosangle = Mathf.Acos((a.x * a.x + a.y * a.y + b.x * b.x + b.y * b.y - c.x * c.x-c.y*c.y) / (2 * Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y))) * Mathf.Rad2Deg;
        float dotangle = Mathf.Acos((a.x * b.x + a.y * b.y) / (Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y))) * Mathf.Rad2Deg;
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("vector2 apiangle = {0} cosangle = {1} dotangle = {2}", apiangle, cosangle, dotangle);
#endif
    }
 
    private void CalculateVector3Angle()
    {
        Vector3 a = new Vector3(1, 3, 5);
        Vector3 b = new Vector3(2, 8, 4);
 
        Vector3 c = b - a;
 
        float apiangle = Vector3.Angle(a, b);
        float cosangle = Mathf.Acos((a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z + b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z - c.x * c.x - c.y * c.y - c.z * c.z) / (2 * Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z))) * Mathf.Rad2Deg;
        float dotangle = Mathf.Acos((a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z) / (Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z))) * Mathf.Rad2Deg;
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("vector3 apiangle = {0} cosangle = {1} dotangle = {2}", apiangle, cosangle, dotangle);
#endif
    }
}

image.png

 因为我们对几何公式的理解,所以很容易实现这个Angle的功能,如果你细心你会发现一点,这个Angle函数不带顺逆时针旋转,也就是不带正负号。

      如果你是认真学习了三角函数,那么应该知道,在二维坐标系中,逆时针旋转方向的夹角为正角,如下图:

image.png

 那么三维中呢?这里有个叫做左手旋转定则的规范,文字描叙就是:伸出左手,大拇指翘起,四指握拳,那么大拇指指向旋转轴方向(比如Z轴),则其余四指旋转方向就是正角方向。改造一下上面的二维坐标系旋转夹角标识图到三维则如下:

image.png


  拿左手比划一下就看得出来了,那么我们可以默认认为,一般情况下,我们做二维中角度相关计算,虚拟Z轴指向纸内。


      回到需要谈论的问题,那就是Angle计算是不带顺逆时针判断的,也就是不带正负号,那么我们需要构建一个函数,它既计算了夹角,又判断了顺逆时针方向。


      unity提供了我们Vector.SingedAngle这个API去获取带正负号的夹角。


      如果我们设计这个函数的话,用叉积很方便,因为叉积就是判断顺逆时针旋转的,想象一下Vector2扩展出Z轴,同时两个Vector2向量a和b的扩展出的Vector3向量a'和b'的叉积向量c,那么向量c的z值正负号可以用来判断夹角的正负号,使用上面说的左手规则即可。函数设计如下:


private void CalculateVector2SingedAngle(Vector2 a, Vector2 b)
    {
        float apiangle = Vector2.SignedAngle(a, b);
 
        Vector3 a3d = new Vector3(a.x, a.y, 0);
        Vector3 b3d = new Vector3(b.x, b.y, 0);
 
        float crossangle = Vector2.Angle(a, b) * Mathf.Sign(Vector3.Cross(a3d, b3d).z);
 
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("vector2 apiangle = {0} crossangle = {1}", apiangle, crossangle);
#endif
    }
 
void Start()
    {
        Vector2 a = new Vector2(1, 3);
        Vector2 b = new Vector2(2, 8);
        CalculateVector2SingedAngle(a,b);
        a = new Vector2(1, 7);
        b = new Vector2(2, 8);
        CalculateVector2SingedAngle(a, b);
        a = new Vector2(-1, -7);
        b = new Vector2(2, 8);
        CalculateVector2SingedAngle(a, b);
    }

image.png

那么Vector3.SingedAngle怎么去理解呢?先看下官方的函数设计,如下:

image.png


 看得出来吧,因为三维向量可以是任意朝向的,那么我们就必须限定一个旋转轴,不然我们怎么确定左手规则的大拇指朝向呢?那么我们来设计这个函数,两个Vector3向量a和b,他们的叉积向量c,我们就把向量c当做旋转轴,那么永远是正角,因为向量c是通过ab叉积反推出来的,向量c的左手规则四指旋转方向就是a到b的夹角正方向,所以如下:

private void CalculateVector3SingedAngle(Vector3 a, Vector3 b)
    {
        Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
        Vector3 axis = cross;
        float apiangle = Vector3.SignedAngle(a, b, axis);
        float crossangle = Vector3.Angle(a, b);
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("vector3 apiangle = {0} crossangle = {1}", apiangle, crossangle);
#endif
    }
 
void Start()
    {
        Vector3 a = new Vector3(1, 3, 10);
        Vector3 b = new Vector3(2, 8, 4);
        CalculateVector3SingedAngle(a, b);
        a = new Vector3(1, 5, 2);
        b = new Vector3(2, 8, 5);
        CalculateVector3SingedAngle(a, b);
        a = new Vector3(-1, -7, -10);
        b = new Vector3(2, 4, -9);
        CalculateVector3SingedAngle(a, b);
        a = new Vector3(-1, 7, 8);
        b = new Vector3(2, -3, -5);
        CalculateVector3SingedAngle(a, b);
    }

image.png

 那如果我们使用其他旋转轴去当做axis参数呢?就需要判断axis和cross的夹角是否大于无符号90°,大于说明旋转相反了。函数设计如下:

 private void CalculateVector3SingedAngle(Vector3 a, Vector3 b)
    {
        Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
        Vector3 axis = new Vector3(1, -5, 4);
        float apiangle = Vector3.SignedAngle(a, b, axis);
        float crossangle = Vector3.Angle(a, b) * Mathf.Sign(90 - Vector3.Angle(cross, axis));
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("vector3 apiangle = {0} crossangle = {1}", apiangle, crossangle);
#endif
    }

image.png

稍微画一个示意图吧,如下:

image.png


  使用左手规则比划一下是不是发现,旋转方向随着θ和β角度不同而相反。

     好了,偶尔写一篇几何数学函数详解,顺便学英语。


————————————————

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