少有人走的路在机器视觉中表示两个坐标系的映射关系一般用矩阵表示 。
下面的知识则是使用三角函数推导两者的关系。
（一）坐标系原点旋转的情况
如下图所示，有两个坐标系，绿色的XOY, 红色的X'OY'。
点P(x,y)在坐标系XOY中是(300,350)，现在我们想求点P在红色坐标系X'OY'中的位置？
我们按推算公式一计算一下，则：
x'=OD+DF=x*cos(20)+y*sin(20)
y'=PC-FC=y*cos(20)-x*sin(20)
>> 表达式: 300*cos(20)+350*sin(20) 401.614836 命令: cal >> 表达式: 350*cos(20)-300*sin(20) 226.286374
我们的计算结果跟CAD标注的有点小差别，这个现象勇哥有点不解，就解释为CAD捕捉的误差吧。
（图１）
为了证明数学公式计算的理论值是准确的，问题出在autocad的标注误差，勇哥用数学工具画了一遍上面的例子。
（图２）
结果是：p (7.69,3.59)
然后用公式计算一下理论值：
命令: cal >> 表达式: 6*cos(20)+6*sin(20) 7.69027658 命令: cal >> 表达式: 6*cos(20)-6*sin(20) 3.58603486
可以看到如果第三位四舍五入的话，结果是完全无误的！！
因此各位做理论验证，最好用专业的数学工具来绘图计算。
但是数学工具GeoGebra缺点是画线条是没有像autocad那么灵活。真是各有各的好处。
（二）坐标系移动旋转复合变换的情况
接下来看旋转+位移（复合变换）后的坐标系怎么进行点转换。
先给出两个公式推导的过程，然后再验证效果。
推导公式一，如下：
（图3）
结论就是：
x=x'*cos(θ)+y'*sin(θ)+a
y=y'*cos(θ)-x'*sin(θ)+b
推导公式二，如下：
（图4）
（图5）
这个公式二理论上也是可以转为公式一的。公式一更加巧妙精简一些。
下面我们来验证公式的效果：
为了方便代入实际数值进行计算，勇哥画了一个示意图，我们按公式一来解一下：
其中基坐标系为xy坐标系。E'DE''为复合变换后的坐标系，其中Ｂ点在这个坐标系中的位置为(2.56, 1.2)
θ＝20度
现在我们要求Ｂ点在基坐标系中的坐标。
（图6）
按上面的公式：
x=x'·cos(θ)+y'·sin(θ)+a
y=y'·cos(θ)-x'·sin(θ)+b
其中x'y'=(2.56,1.2)
θ=20度
a,b=(4,4)
计算结果如下：
命令:CAL >> 表达式: 2.56*cos(-20)+1.2*sin(-20)+4 5.99518894 命令:cal >> 表达式: 1.2*cos(-20)-2.56*sin(-20)+4 6.00320271
如图３所示，答案就是(6,6)
这里有个问题，为啥是-20度呢。
这个要看你的坐标系是怎么转动才与基坐标系的Ｘ轴水平，如果是顺时针转的就是负角。
接下来我们反解一下，已知Ｂ点在基坐标下为(6,6)，求解Ｂ点在复合变换坐标系下的坐标
（答案是(2.56, 1.2)）
。。。。。
先略，暂时没推算出来，以后再补充。
2020/8/15勇哥注：反解推算出来了，见后面的介绍。
我们来对比看看autocad中的坐标系变换的效果吧。
使用指令ucs, obj方式，点击蓝色矩形的X轴所在的线。
cad已经把坐标系切换成了蓝色矩形框所在的坐标系，可以观察到xyz指示图标变化了，并且鼠标指针也变化了。
这个时候点击圆心，可以看到圆心的坐标为（724.1483, 837.4397），这个值是圆心在蓝色坐标系下的值 。
按上面的经验，我们还要得到偏移距离 (a,b)，和两个坐标系X轴的夹角。
其值如下：
好了，我们算一下这个圆心在红色坐标系中的值是多少：
命令: cal >> 表达式: 724.1483*cos(-10)+837.4397*sin(-10)+369.3 937.026982 命令: CAL >> 表达式: 837.4397*cos(-10)-724.1483*sin(-10)+99.62 1050.08414
上面是理论计算的值，我们看看CAD的结果：
稍有误差，不过没关系，不是我们的错。
（三）反解
上面提过：
已知Ｂ点在基坐标下为(6,6)，求解Ｂ点在复合变换坐标系下的坐标
（答案是(2.56, 1.2)）
反解出的公式推导如下：
勇哥试了一下，用这个公式可以反解出图6的正确答案是(2.56, 1.2)。
即已知基坐标系的点，求出复合变换后坐标系对应点的坐标。
尾声：
本来这个贴子的标题是说要提供C#代码的，不过因为公式比较简单，似乎没这个必要了吧！
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作者：hackpig
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