少有人走的路

  引导滤波（Guided Filtering）和双边滤波（BF）、最小二乘滤波（WLS）是三大边缘保持（Edge-perserving）滤波器。当然，引导滤波的功能不仅仅是边缘保持，只有当引导图是原图的时候，它就成了一个边缘保持滤波器。
  它在图像去雾，图像抠图上均有相应的应用。

原理

  对于一个输入的图像$p$，通过引导图像$I$，经过滤波后得到输出图像$q$，其中$p$和$I$都是算法的输入。引导滤波定义了如下所示的一个线性滤波过程，对于$i$位置的像素点，得到的滤波输出是一个加权平均值：
$$\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$i$和$j$分别表示像素下标。$W_{ij}$是只和引导图像$I$相关的滤波核。该滤波器相对于$p$是线性的。
  导向滤波的一个重要假设是输出图像$q$和引导图像$I$在滤波窗口$w_k$上存在局部线性关系：
$$\text{\hspace{1em}(2)}$$
对于一个以$r$为半径的确定的窗口$w_k$，（$a_k$，$b_k$）也将是唯一确定的常量系数。这就保证了在一个局部区域里，如果引导图像$I$有一个边缘的时候，输出图像$q$也保持边缘不变，因为对于相邻的像素点而言，存在∇ q = a ∇ I \nabla q=a\nabla I。因此只要求解得到了系数$a$，$b$也就得到了输出$q$。同时认为输入图像中非边缘区域又不平滑的地方视为噪声$n$，就有q i = p i − n i q_i=p_i-n_i。最终的目标就是最小化这个噪声。对于每一个滤波窗口，该算法在最小二乘意义上的最优化可表示为$${}^{}\text{\hspace{1em}(3)}$$
最后，引入一个正则化参数$ϵ$避免$a_k$过大，得到滤波窗口内的损失函数：
E ( a k , b k ) = ∑ i ∈ w k ( ( a k I i + b k − p i ) 2 + ϵ a k 2 ) . (4) E(a_k,b_k)=\sum_{i\in w_k}((a_kI_i+b_k-p_i)^2+\epsilon a_k^2).\tag4
(4)
求解最优化过程（对参数求偏导）：
δ E a k = ∑ i ∈ w k ( 2 ( a k I i + b k − p i ) ( I i ) + 2 ϵ a k ) = 0 (5) \frac {\delta E}{a_k}=\sum_{i\in w_k}(2(a_kI_i+b_k-p_i)(I_i)+2\epsilon a_k)=0 \tag5$$\text{\hspace{1em}(6)}$$
-----------------2020-10-27更新-----------------
因为求导这部分我之前也写的有问题，评论里也有问到，这里再把过程写详细点，方便大家对照自己的推导过程。
先求解$b_k$：
$$\text{\hspace{1em}(7)}$$
为了方便运算和简化公示，这里记$\overline{}$(8)
然后求解$a_k$：
整理前面的求导公式可得：

$$\text{\hspace{1em}(9)}$$
代入简化后的$b_k$
$$\text{\hspace{1em}(10)}$$
$$\text{\hspace{1em}(11)}$$
移项，注意求和符号的层级关系，提出$a_k$，注意带下标k的都可以从求和函数提出：
$$\text{\hspace{1em}(12)}$$
a k ( ∑ i ∈ w k I i 2 − I k ‾ ∑ i ∈ w k I i + ∑ i ∈ w k ϵ ) = ∑ i ∈ w k p i I i − p k ‾ ∑ i ∈ w k I i (13) a_k(\sum_{i\in w_k}I_i^2-\overline{I_k}\sum_{i\in w_k}I_i+\sum_{i\in w_k}\epsilon)=\sum_{i\in w_k}p_iI_i-\overline{p_k}\sum_{i\in w_k}I_i\tag{13}(13)
为了进一步简化，在

即为$a_k$的结果，相比与论文中的结果，这里进一步替换简化了公式。
-----------------分割线-----------------
  接下来，只要把上述线性模型应用到整个图像的滤波窗口。但是可以看到，每一个像素点会被包含在多个窗口里。比如，如果用3*3的窗口滤波，那么除了边缘区域的每个点都会被包含在9个窗口里。因此，对于不同的窗口，我们将会得到$|w|$个$q_i$值，就对所有的$q_i$值取平均，得到最终结果：
q i = 1 ∣ w ∣ ∑ k : i ∈ w k ( a k I i + b k ) (16) q_i=\frac{1}{|w|}\sum_{k:i\in w_k}(a_kI_i+b_k)\tag{16}

边缘保持

  对于该算法，当$I=p$时，即输入图像和引导图像是同一副图像时，该算法即成为一个边缘保持滤波器。同时，方程的解也可作如下表示：
a k = σ k 2 σ k 2 + ϵ (18) a_k =\cfrac{\sigma _k^2}{\sigma _k^2+\epsilon}\tag{18}
从中可以看出，$ϵ$在这里相当于界定平滑区域和边缘区域的阈值。

考虑以下两种情况：

应用

1、以自身作为引导图的保边平滑滤波：

2、以原图引导的对透射率滤波的暗通道去雾

3、以原图引导的对权重图滤波的引导图像融合

转载自：https://blog.csdn.net/weixin_43194305/article/details/88959183

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